41. The Von Koch Curve This curve was constructed by the swedish mathematician helge von koch (1870 1924) as an example of a continuous curve in the plane without a tangent at http://www.nada.kth.se/~berg/vonkoch.html

The von Koch Curve A line is divided into three equal parts, on the middle third an equilateral triangle is drawn whose base is removed. If you as starting line choose the sides of an equilateral triangle, in the limit you get the von Koch snowflake curve. This curve was constructed by the swedish mathematician Helge von Koch (1870 - 1924) as an example of a continuous curve in the plane without a tangent at every point. The same curve is also an example of a nowhere differentiable continuous function.

42. Il Fiocco Di Neve Di Koch Translate this page Variazione tematica. Mutazioni geometriche nella metafonia,il fiocco di neve el’isola di helge von koch. http://www.nicolaschepis.it/fiocco_di_neve_di_koch.htm

V ariazione tematica Mutazioni geometriche nella metafonia, il fiocco di neve e l’isola di Helge Von Koch Metafonia Ipotesi e Verità di Nicolò Schepis Un rumore offre un’immensa profusione d’armoniche, che rende complesso un sistema, una dimensione del caos dal quale non possiamo prevedere gli effetti. Quante parti mancanti d’infiniti anelli ci sono sconosciuti? Se visualizzassimo nella nostra scena visiva uno sfondo turbolento di una nuvola, avvalendoci di un ingranditore che ci permettesse di poter osservare il fenomeno con risoluzioni diverse, ci accorgeremmo via, via, attraversando le protuberanze infinitesimali d’incontrare ramificazioni infinite, filamenti che si biforcano in grovigli sempre più complessi; afferma Penrose: “ a un ingrandimento maggiore, il piccolo risulta simile all’intero mondo Siamo d’innanzi ad una nuova geometria, Il matematico Helge Von Koch diede origine a figurazioni autosomiglianti, l’esempio più coinvolgente è il “ fiocco di neve ” o “ l’isola di Koch ”. Presumendo un’infinita reciprocità di figure autosomiglianti si rivela un paradosso affascinante della geometria frattale e cioè che il perimetro che si ottiene è illimitato al contrario della sua aria che è finita. Una linea illimitata circoscrive un’area finita.

43. Arlo Caine's Web Page / Mathematics / Limits With ... What is a limit? Niels Fabian helge von koch (18701924) was a swedishmathematician who first played with the figures we are discussing. http://math.arizona.edu/~caine/chaos.html

Limits with von Koch's Curve, Sierpinski's Gasket, and the Chaos Game Patterns The natural world is awash with detail. Even in the bleak lanscape of a frozen tundra, patterns can be found at all scales, whether in the gentle curve of a wind swept serac or in the intricate crystalline structure of a snowflake. It is fortunate for us that many of the observable patterns in nature form as the result of a process. A step by step series of instructions to be carried out. Some processes are more complicated than others. Ice crystal formation is a fairly simple process when compared with the fluid dynamics relevant to the creation of clouds, for example. In science one tries to develop theoretical models to predict these patterns, thereby understanding the process, and then tests these predictions against experiement. Often these predictions use mathematics, and during the development of the full model, many interesting questions arise. An example is pictured schematically at right. In the picture at right, suppose for the sake of

44. Schule.at - Österreichisches Schulportal - Ressourcen, Schulen, Schulintranets, Translate this page Fraktale Die kochkurve des Mathematikers helge von koch, ein ganz besonderes Wegfraktalund L-System, kann als Symbol für diese ganze Fraktalgattung gelten. http://www.schule.at/index.php?url=themen&top_id=1235

45. Cabri Internet 3 Philip.van.Egmond/wiskunde/koch1n.htm; deze pagina wordt geopend in een nieuw venster);Op deze pagina vind je informatie over de kromme van helge von koch. http://www.pandd.demon.nl/werkbladen/cabrinter3.htm

Cabri en Internet [3] Opdracht 1 Opdracht 2 Opdracht 3 Opdracht 4 ... Cabri-werkbladen Vorige Begin Volgende Deel 1 - Tangram Ga naar de site van Math Forum http://forum.swarthmore.edu/trscavo/tangrams/construct.html ; deze pagina wordt geopend in een nieuw venster). Op deze pagina vind je informatie om een tangram-set te maken. Opdracht 1 Kort maar krachtig: Volg de instructies op die pagina om een tangram-set te maken. Het is de bedoeling dat de zeven stukken van de tangram-set elk apart op het Cabri-werkblad te verslepen zijn, zodat je met de door jou gemaakt set kunt gaan puzzelen. Deel 2 - Von Koch's kromme Ga naar de website van Philip van Egmond http://home.planet.nl/~Philip.van.Egmond/wiskunde/koch1-n.htm ; deze pagina wordt geopend in een nieuw venster); Op deze pagina vind je informatie over de kromme van Helge Von Koch. Voer de volgende opdrachten uit. Opdracht 2 Lees de informatie die de site geeft over dit onderwerp. Beschrijf kort de essentie ervan. Opdracht 3 Probeer in eigen woorden uit te leggen waarom de kromme van Von Koch op den duur oneindig lang wordt. Opdracht 4 Teken met Cabri een kromme van Von Koch, waarbij jue vijf keer het primcipe toepast.

46. Cabri Werkblad De kromme is genoemd naar de Zweedse wiskundige helge von koch (Niels Fabianhelge von koch, 18701924). Wat is de lengte van de kromme van koch? http://www.pandd.demon.nl/werkbladen/koch.htm

Cabri werkblad Overzicht Alle werkbladen Meetkunde Cabri ... Fractalen Overzicht - Koch fractaal Wat is een fractaal Opdracht 1 - Trisectie van een lijnstuk Opdracht 2 - Macro voor de trisectie van een lijnstuk Opdracht 3 ste en 2 e benadering Opdracht 4 - De kromme van Koch Opdracht 5 - Sneeuwvlok-kromme Opdracht 6 - Zelf doen Download Dit werkblad is gebaseerd op een deel van de lezing van Koen Stulens (Limburgs Universitair Centrum, Diepenbeek, België) onder de titel " Cabri Geometry II, Interactieve meetkunde op de PC " tijdens het Tweede T -Symposium in Oostende (24-8-99 tot 26-8-99). Wat is een fractaal Een fractaal (Eng. fractal) is een meetkundige figuur waarin eenzelfde motief zich op steeds kleinere schaal herhaalt, of ook wel een fractaal is een (soms ingewikkelde) figuur, waarin men een zekere mate van zelfgelijkvormigheid kan aantreffen. De meest eenvoudige fractaal is misschien wel een lijnstuk Kopieer er een stukje uit (PQ) en dat stukje kan je door vermenigvuldiging met een bepaald getal weer even groot maken als het oorspronkelijke lijnstuk (AB). Fractalen zijn figuren die "

47. The Curve Of Helge Von Koch (1904) The curve of helge von koch (1904). A line is divided into three equal sections.The central one is removed, and two lines of equal length are put in its place. http://home.wxs.nl/~Philip.van.Egmond/wiskunde/koch1-e.htm

The curve of Helge von Koch (1904) A line is divided into three equal sections. The central one is removed, and two lines of equal length are put in its place. In this way the figure below is generated. In the center is now an equilateral triangle, with its lowest side removed. What would happen if you were to divide every line into three pieces, remove the central piece, and replace it with two other ones of equal length just like was done with the first line? You would see the situation below. If one did the same again: After 100 iterations I had the following picture: Now suppose that the length op the first line was 1 dm (=10cm). Then the length of the segments in the second picture would be 1/3 dm. The total length of the segments would be 4*1/3 dm=4/3dm. After the second iteration there are already 16 segments in the curve. With each iteration a segment gets 3 times as small, but 4 times as many segments are created. The total length of the 16 segments is therefore (4/3) ~ 1,78 dm.

48. The Koch Curve © Copyright 2002, Jim Loy. Above left we see the first four orders of the kochcurve (drawn using Fractint and Paint Shop Pro), discovered by helge von koch. http://www.jimloy.com/fractals/koch.htm

Return to my Mathematics pages Go to my home page The Koch Curve Above left we see the first four orders of the Koch curve (drawn using Fractint and Paint Shop Pro ), discovered by Helge von Koch. Sometimes, a straight line segment is called the first order. And then the four images above left are the next four orders. You can probably see how each order is built from the previous one. Above right we see the third order Koch island (or snowflake), made up of three Koch curves. Below, is the fifth order Koch curve, magnified four times. The sixth order Koch curve (below) looks much like the fifth order, except that each tiny point is indistinct. It's hard to tell what is going on. Actually it is made up of many tinier points. But the resolution of the graphic image is inadequate to show points that small. The actual Koch curve (and island) is the limit of infinitely many orders. It looks like the picture below, again with inadequate resolution. You may have noticed that the Koch curve is very self-similar (see Fractals and Self-Similarity ). Various parts of it (the infinite order version) are identical to larger and smaller parts. So, each point that you see in the fifth order curve becomes a very convoluted portion of the curve in higher orders.

49. Kända Döda, Personer: K koch, Nils TW, Kammarjunkare, Avliden von koch, Halfred, Kansliråd, Avliden vonkoch, Sigurd, Konstnär, Avliden von koch, helge, Professor, Avliden von koch http://www.genealogi.net/listor/Adelborg/adelb_reg_k.htm

Adelborg: Personer i klippsamlingen K Kafle, E.S., Kapten, Avliden Kafle, E.S., Kapten Bohusläns reg, Avliden Kajerdt, John, Major, Avliden Kalén, Magnus, Läroverksadjunkt, Avliden Kallenberg, Frithiof, Hovrättsråd, Avliden Kallenberg, Ernst, Professor, Avliden Kalling, Sven, Greve, Bergsingenjör, Avliden Kalling, Bo, Greve, Professor, Avliden Kalling, Axel, Greve, Disponent, Avliden Kalling, Gustaf, Greve, Konstnär, Avliden Kalling, Göran, Greve, Advokat, Avliden Kallstenius, Gottfrid S.N., Professor, Avliden Kallstenius, Gottfrid, Professor, Avliden Kallstenius, Gottfrid, Professor, Avliden Kantzow, Albeert, Friherre, Avliden Kantzow, Johan Albert, Friherre, Major, Avliden von Kantzow, Erik, Godsägare, Avliden Kantzow, Thomas, Kamrer, Avliden Kantzow, Nils, Kapten, Avliden Kantzow, G.L., Kapten, Avliden Kantzow, Charles, Major, Avliden Karageorgevitch, Bojidar, Prins, Dödsruna

50. Capítulo 1 - Objetos Fractales. Autosemejanza Translate this page Este es el caso del matemático suizo helge von koch (1870-1924) “On a ContinuousCurve without Tangents Constructible from Elementary Geometry”. http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-09.shtm

Benoît Mandelbrot Concepto de estructura fractal Autosemejanza Dimensión topológica ... la escalera del diablo , las curvas de Weierstrass Mandelbrot-Weierstrass y Takagi un ejemplo diferente , las curvas de Peano y de Hilbert , los dragones de Heighway y conjuntos autoafines , las curvas de Koch Sierpinski Kiesswetter y Given-Mandelbrot Movimiento browniano Fechas significativas Algunas aplicaciones Inspirados por el hallazgo de Weierstrass, otros matemáticos trabajaron sobre curvas continuas sin tangente en punto alguno. Este es el caso del matemático suizo Helge Von Koch (1870-1924): “ On a Continuous Curve without Tangents Constructible from Elementary Geometry Casi inmediatamente después de la publicación del trabajo de Von Koch, Ernesto Césaro demostró que la curva en cuestión es autosemejante. Es decir, puede ser obtenida reuniendo cuatro partes de la misma, cada una de las cuales es semejante a la curva completa. Estas curvas son otro ejemplo de curvas continuas y no diferenciables en ningún punto. Tienen longitud (medida de Lebesgue) infinita, pero limitan una superficie finita. Su dimensión topológica es 1.

51. Helge Von Koch helge von koch. 1 A biography page of Niels Fabian helge von koch from theMacTutor History of Mathematics archive at the University of St Andrews. http://www.sciencedaily.com/encyclopedia/helge_von_koch

Match: sort by: relevance date Free Services Subscribe by email RSS newsfeeds PDA-friendly format loc="/images/" A A A Find Jobs In: Healthcare Engineering Accounting College Contract / Freelance Customer Service Diversity Engineering Executive Healthcare Hospitality Human Resources Information Tech International Manufacturing Nonprofit Retail All Jobs by Job Type All Jobs by Industry Relocating? Visit: Moving Resources Moving Companies Mortgage Information Mortgage Calculator Real Estate Lookup Front Page Today's Digest Week in Review Email Updates ... Outdoor Living Encyclopedia Main Page See live article Helge von Koch Niels Fabian Helge von Koch January 25 March 11 ) was a Swedish mathematician , who gave his name to the famous fractal known as the Koch curve , which was one of the earliest fractal curves to have been described. He was born into a family of Swedish nobility . His grandfather, Nils Samuel von Koch (1801-1881), was the Attorney-General ("Justitiekansler") of Sweden . His father, Richert Vogt von Koch (1838-1913) was a Lieutenant-Colonel in the Royal Horse Guards of Sweden. von Koch wrote several papers on number theory . One of his results was a theorem proving that the Riemann hypothesis is equivalent to a strengthened form of the prime number theorem . He described the Koch curve in a paper entitled "Une méthode géométrique élémentaire pour l'étude de certaines questions de la théorie des courbes plane" [1].

52. Qu'importe Le Flocon helge von koch, qui fut lepremier à exhiber une courbe fermée, continue, dérivable en aucun point http://hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/node100.html

Sommaire Index Qu'importe le flocon flocon de Koch ou flocon de neige L'exercice s'inspire de nombreux sites Internet qui traitent du sujet, notamment: http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono/ http://membres.lycos.fr/tpefractal/Flocon.htm? AB C et D CD E comme suit: Indications AB , puis, calcule les points C D et E AC CE ED et DB n n -1 pour chaque nouveau segment. n vaut 0. soit soit soit alors , car , donc a est de aire d'un petit triangle avec aire = 1/3. Par addition, Donc, Comme donc donc donc Solutions demoKoch.m et koch.m Koch.java AppKoch.java , et DemoKoch.java Sommaire Index Jean-Bernard ROUX Jean-Bernard Roux

53. Java Am GZG: Anmerkungen Zur Kochkurve Translate this page Im Jahr 1904 hat der schwedischer Mathematiker helge von koch einen kaskadenartigenProzess beschreiben, mit dem als Grenzwert eine unendlich lange Kurve http://www.gzg.fn.bw.schule.de/inform/Java/Applets03/AnmerkungenKochkurve.htm

Applets zur Kochkurve Java am GZG Ergänzungen zum Kapitel " Einfache Algorithmen " Überblick: Beschreibung Applet Applet Applet Die Kochkurve Im Jahr 1904 hat der schwedischer Mathematiker Helge von Koch einen kaskadenartigen Prozess beschreiben, mit dem als Grenzwert eine unendlich lange Kurve definiert wird, die nur einen endlichen Platz beansprucht (siehe , S.47). Diese Kurve wurde von Herrn von Koch ursprünglich als Beispiel für eine stetige Kurve eingeführt, die an keiner Stelle eine Tangente besitzt (siehe , oder , S.110). Eine Kochkurve 0-ter Stufe ist eine Gerade. Wird das mittlere Drittel der Gerade durch eine " Spitze" ersetzt (die beiden Geraden, die die Spitze bilden, ergeben zusammen mit der ersetzten Strecke ein gleichseitiges Dreieck), so erhält man eine Kochkurve 1-ter Stufe. Dieser Vorgang wird nun bei allen Teilgeraden rekursiv wiederholt. Die Kochkurve ist der Grenzwert der Folgen der Kochkurven n-ter Stufe. Ist die Kochkurve der Stufe von der Länge 1, so ist die Länge der Kochkurve n-ter Stufe von der Länge (4/3)^n. In der fraktalen Geometrie ist die Kochkurve eine Kurve der Dimension D = log(4)/log(3) = 1,2618 (siehe etwa , S.48).

54. ORESME NKU Sept 1998 a most comfortable facility, to read the paper On a continuous curve without tangentsconstructible from elementary geometry by helge von koch (an English http://www.nku.edu/~curtin/oresme_sep_98.html

Please Email comments or suggestions to: curtin@nku.edu or to: otero@xavier.xu.edu ORESME Home Page Dan Curtin's Home Page

55. The ORESME Home PageVon Koch Section 4 The 1906 reference is helge von koch, Une méthode géométrique élémentairepour l étude de certaines questiones de la théorie des courbes planes http://www.nku.edu/~curtin/grenouille.html

Von Koch Section IV. Please Email comments or suggestions to: curtin@nku.edu You may view the four pages of the 1906 paper that do not appear in the 1904 version. Acta Mathematica (1906), 145-174. You have Vardi's translation of pp. 145-170. Page 171 Page 172 Page 173 Page 174 ... Dan Curtin's Home Page

56. Biography-center - Letter V von koch, helge wwwhistory.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/koch.html;von Leibniz, Gottfried www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians http://www.biography-center.com/v.html

Visit a random biography ! Any language Arabic Bulgarian Catalan Chinese (Simplified) Chinese (Traditional) Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Finnish French German Greek Hebrew Hungarian Icelandic Indonesian Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Norwegian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swedish Turkish V 205 biographies Vaca, Alva Nuñez Cabeza de www.pbs.org/weta/thewest/people/a_c/cabezadevaca.htm Vaca, Alva Nuñez Cabeza de www.newadvent.org/cathen/03126c.htm Vacca, Giovanni www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Vacca.html Vaga, Perino del www.getty.edu/art/collections/bio/a952-1.html Vailati, Giovanni www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Vailati.html Val, Patrick du www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Du_Val.html Vala, Katri www.kirjasto.sci.fi/kvala.htm VALEJO, Christiane www.christiane-valejo.com/Biography.htm Valentin, www.kirjasto.sci.fi/valentin.htm Valentin, Moise www.kfki.hu/~arthp/bio/v/valentin/biograph.html Valentine, www.knight.org/advent/cathen/15254b.htm Valerio, Luca

57. El Conjunto De Koch Translate this page Definidas por helge von koch en 1904, estas curvas se forman a partir de un segmento,por la sustitución de su tercio central por dos segmentos de longitud http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/fractal/koch1.htm

Práctica 2.- CURVAS POLIGONALES DE KOCH. Definidas por Helge von Koch en 1904, estas curvas se forman a partir de un segmento, por la sustitución de su tercio central por dos segmentos de longitud tambien un tercio, pero formando ángulos de 60º. Proceso que se repite recursivamente en cada segmento de las figuras que progresivamente se van obteniendo. Por tanto la poligonal de nivel 1 es un segmento: Para NIVEL=1 Para NIVEL=2 Para NIVEL=3 Para NIVEL=4 Para NIVEL=5 Para NIVEL=6 ACTIVIDAD A REALIZAR Elaborar los procedimientos LOGO para representar la Poligonal de Koch para un nivel n y una longitud dados.

58. Einige Der Bedeutenden Mathematiker Translate this page Kepler Johannes, 1571-1630. Klein Christian Felix, 1849-1925. koch helge von, 1870-1924.Kolmogorow Andrei Nikolajewitsch, 1903-1987. Kovalevskaya Sophia, 1850-1891. http://www.zahlenjagd.at/mathematiker.html

Einige der bedeutenden Mathematiker Abel Niels Hendrik Appolonius von Perga ~230 v.Chr. Archimedes von Syrakus 287-212 v.Chr. Babbage Charles Banach Stefan Bayes Thomas Bernoulli Daniel Bernoulli Jakob Bernoulli Johann Bernoulli Nicolaus Bessel Friedrich Wilhelm Bieberbach Ludwig Birkhoff Georg David Bolyai János Bolzano Bernhard Boole George Borel Emile Briggs Henry Brouwer L.E.J. Cantor Georg Ferdinand Carroll Lewis Cassini Giovanni Domenico Cardano Girolamo Cauchy Augustin Louis Cayley Arthur Ceulen, Ludolph van Chomsky Noel Chwarismi Muhammed Ibn Musa Al Church Alonzo Cohen Paul Joseph Conway John Horton Courant Richard D'Alembert Jean Le Rond De Morgan Augustus Dedekind Julius Wilhelm Richard Descartes René Dieudonné Jean Diophantos von Alexandria ~250 v. Chr. Dirac Paul Adrien Maurice Dirichlet Peter Gustav Lejeune Eratosthenes von Kyrene 276-194 v.Chr. Euklid von Alexandria ~300 v.Chr. Euler Leonhard Fatou Pierre Fermat Pierre de Fischer Ronald A Sir Fourier Jean-Baptiste-Joseph Fraenkel Adolf Frege Gottlob Frobenius Ferdinand Georg Galois Evariste Galton Francis Sir Gauß Carl Friedrich Germain Marie-Sophie Gödel Kurt Goldbach Christian Hadamard Jacques Hamilton William Rowan Hausdorff Felix Hermite Charles Heawood Percy Heron von Alexandrien ~60 n.Chr.

59. Die Kochkurve Translate this page helge von koch suchte nun nach weiteren Beispielen, für die dieses Phänomenzutrifft. 1904 entwickelte er die nach ihm benannte kochkurve. http://www.gym-cantor.bildung-lsa.de/Facharbeiten/Facharbeiten97/kochkurve.html

Die Kochkurve Inhaltsverzeichnis Einleitung Die Kochkurve Konstruktionsbeschreibung Die Koch - Insel ... Literaturverzeichnis 1 Einleitung Im Jahr 1872 machte der deutsche Mathematiker Karl Weierstraß eine Entdeckung, die die Mathematik in eine kleine Krise stürzte. Er beschrieb eine Kurve, die an keinem ihrer Punkte eine Tangente zuließ. Helge von Koch suchte nun nach weiteren Beispielen, für die dieses Phänomen zutrifft. 1904 entwickelte er die nach ihm benannte Kochkurve. 1967 widmete sich Benoit Mandelbrot, ein französischer Mathematiker, der Kochkurve, da er sich zu dieser Zeit mit einem Problem befaßte, das zu dieser Kurve mindestens genauso gut paßt, wie das Problem mit den Tangenten. Mandelbrot befaßte sich mit dem Problem der genauen Küstenlänge oder nur einer anderen Länge. Insbesondere mit der Küstenlänge Großbritanniens, über die er im selben Jahr in einem Artikel der Zeitschrift "Science" das Problem und seine Ansichten dazu schildert. Der Name des Artikels lautete "How long is the coast of Britian ?", also : Wie lang ist die Küste Britanniens ? Diese Frage erscheint jedem auf den ersten Blick harmlos, da man die Länge durch Messungen auf der Landkarte ermitteln könnte. Mandelbrot behauptete aber das dies falsch ist, denn das wäre, was nicht zu bestreiten ist, eine sehr ungenaue Lösung. Mandelbrot ging sogar weiter und behauptete, daß man nie eine richtige und damit genaue Lösung ermitteln kann.

60. 41063b Translate this page erhalten?``. 410636. Wir machen einen Ausflug in die Welt der koch-Kurvenund koch-Inseln (helge von koch, Stockholm 1904) In den http://www.mathematik-olympiaden.de/Aufgaben/41/3/41063b/41063b.html

Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V. 41. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Landesrunde) Klasse 6 Aufgaben 2. Tag Hinweis: Eine Haselnuss wiegt so viel wie drei Rosinen. In der Packung sind Eine Paranuss wiegt 12 g. Die Packung wiegt 600 g. Jochen, das Geburtstagskind, stellt folgende Aufgabe: ,,Ich sage euch: Von keiner Farbe gibt es weniger als zwei Murmeln. Wir machen einen Ausflug in die Welt der Koch-Kurven und Koch-Inseln (Helge von Koch, Stockholm 1904): a) Wie lang ist die Koch-Kurve in der 1. Stufe? Und in der 2. Stufe? b) Wie lang ist die so entstehende Kurve in der 10. Stufe? c) Arbeitsgruppe Rechentechnik, 2001-12-21

A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y  Z

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