41. Cabri Werkblad De kromme is genoemd naar de Zweedse wiskundige helge von koch (Niels Fabianhelge von koch, 18701924). Wat is de lengte van de kromme van koch? http://www.pandd.demon.nl/werkbladen/koch.htm

Cabri werkblad Overzicht Alle werkbladen Meetkunde Cabri ... Fractalen Overzicht - Koch fractaal Wat is een fractaal Opdracht 1 - Trisectie van een lijnstuk Opdracht 2 - Macro voor de trisectie van een lijnstuk Opdracht 3 ste en 2 e benadering Opdracht 4 - De kromme van Koch Opdracht 5 - Sneeuwvlok-kromme Opdracht 6 - Zelf doen Download Dit werkblad is gebaseerd op een deel van de lezing van Koen Stulens (Limburgs Universitair Centrum, Diepenbeek, België) onder de titel " Cabri Geometry II, Interactieve meetkunde op de PC " tijdens het Tweede T -Symposium in Oostende (24-8-99 tot 26-8-99). Wat is een fractaal Een fractaal (Eng. fractal) is een meetkundige figuur waarin eenzelfde motief zich op steeds kleinere schaal herhaalt, of ook wel een fractaal is een (soms ingewikkelde) figuur, waarin men een zekere mate van zelfgelijkvormigheid kan aantreffen. De meest eenvoudige fractaal is misschien wel een lijnstuk Kopieer er een stukje uit (PQ) en dat stukje kan je door vermenigvuldiging met een bepaald getal weer even groot maken als het oorspronkelijke lijnstuk (AB). Fractalen zijn figuren die "

42. Cabri Internet 3 Philip.van.Egmond/wiskunde/koch1n.htm; deze pagina wordt geopend in een nieuw venster);Op deze pagina vind je informatie over de kromme van helge von koch. http://www.pandd.demon.nl/werkbladen/cabrinter3.htm

Cabri en Internet [3] Opdracht 1 Opdracht 2 Opdracht 3 Opdracht 4 ... Cabri-werkbladen Vorige Begin Volgende Deel 1 - Tangram Ga naar de site van Math Forum http://forum.swarthmore.edu/trscavo/tangrams/construct.html ; deze pagina wordt geopend in een nieuw venster). Op deze pagina vind je informatie om een tangram-set te maken. Opdracht 1 Kort maar krachtig: Volg de instructies op die pagina om een tangram-set te maken. Het is de bedoeling dat de zeven stukken van de tangram-set elk apart op het Cabri-werkblad te verslepen zijn, zodat je met de door jou gemaakt set kunt gaan puzzelen. Deel 2 - Von Koch's kromme Ga naar de website van Philip van Egmond http://home.planet.nl/~Philip.van.Egmond/wiskunde/koch1-n.htm ; deze pagina wordt geopend in een nieuw venster); Op deze pagina vind je informatie over de kromme van Helge Von Koch. Voer de volgende opdrachten uit. Opdracht 2 Lees de informatie die de site geeft over dit onderwerp. Beschrijf kort de essentie ervan. Opdracht 3 Probeer in eigen woorden uit te leggen waarom de kromme van Von Koch op den duur oneindig lang wordt. Opdracht 4 Teken met Cabri een kromme van Von Koch, waarbij jue vijf keer het primcipe toepast.

43. Qu'importe Le Flocon helge von koch, qui fut lepremier à exhiber une courbe fermée, continue, dérivable en aucun point http://hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/node100.html

Sommaire Index Qu'importe le flocon flocon de Koch ou flocon de neige L'exercice s'inspire de nombreux sites Internet qui traitent du sujet, notamment: http://www.sciences-en-ligne.com/momo/chronomath/chrono/ http://membres.lycos.fr/tpefractal/Flocon.htm? AB C et D CD E comme suit: Indications AB , puis, calcule les points C D et E AC CE ED et DB n n -1 pour chaque nouveau segment. n vaut 0. soit soit soit alors , car , donc a est de aire d'un petit triangle avec aire = 1/3. Par addition, Donc, Comme donc donc donc Solutions demoKoch.m et koch.m Koch.java AppKoch.java , et DemoKoch.java Sommaire Index Jean-Bernard ROUX Jean-Bernard Roux

44. Schule.at - Österreichisches Schulportal - Ressourcen, Schulen, Schulintranets, Translate this page Fraktale Die kochkurve des Mathematikers helge von koch, ein ganz besonderes Wegfraktalund L-System, kann als Symbol für diese ganze Fraktalgattung gelten. http://www.schule.at/index.php?url=themen&top_id=1235

45. Die Kochkurve Translate this page helge von koch suchte nun nach weiteren Beispielen, für die dieses Phänomenzutrifft. 1904 entwickelte er die nach ihm benannte kochkurve. http://www.gym-cantor.bildung-lsa.de/Facharbeiten/Facharbeiten97/kochkurve.html

Die Kochkurve Inhaltsverzeichnis Einleitung Die Kochkurve Konstruktionsbeschreibung Die Koch - Insel ... Literaturverzeichnis 1 Einleitung Im Jahr 1872 machte der deutsche Mathematiker Karl Weierstraß eine Entdeckung, die die Mathematik in eine kleine Krise stürzte. Er beschrieb eine Kurve, die an keinem ihrer Punkte eine Tangente zuließ. Helge von Koch suchte nun nach weiteren Beispielen, für die dieses Phänomen zutrifft. 1904 entwickelte er die nach ihm benannte Kochkurve. 1967 widmete sich Benoit Mandelbrot, ein französischer Mathematiker, der Kochkurve, da er sich zu dieser Zeit mit einem Problem befaßte, das zu dieser Kurve mindestens genauso gut paßt, wie das Problem mit den Tangenten. Mandelbrot befaßte sich mit dem Problem der genauen Küstenlänge oder nur einer anderen Länge. Insbesondere mit der Küstenlänge Großbritanniens, über die er im selben Jahr in einem Artikel der Zeitschrift "Science" das Problem und seine Ansichten dazu schildert. Der Name des Artikels lautete "How long is the coast of Britian ?", also : Wie lang ist die Küste Britanniens ? Diese Frage erscheint jedem auf den ersten Blick harmlos, da man die Länge durch Messungen auf der Landkarte ermitteln könnte. Mandelbrot behauptete aber das dies falsch ist, denn das wäre, was nicht zu bestreiten ist, eine sehr ungenaue Lösung. Mandelbrot ging sogar weiter und behauptete, daß man nie eine richtige und damit genaue Lösung ermitteln kann.

46. The Von Koch Curve This curve was constructed by the swedish mathematician helge von koch (1870 1924) as an example of a continuous curve in the plane without a tangent at http://www.nada.kth.se/~berg/vonkoch.html

The von Koch Curve A line is divided into three equal parts, on the middle third an equilateral triangle is drawn whose base is removed. If you as starting line choose the sides of an equilateral triangle, in the limit you get the von Koch snowflake curve. This curve was constructed by the swedish mathematician Helge von Koch (1870 - 1924) as an example of a continuous curve in the plane without a tangent at every point. The same curve is also an example of a nowhere differentiable continuous function.

47. Koch --  Encyclopædia Britannica Discusses details of the seminars, projects, and juvenile camps. Also contains itspublications and newsletter. , Niels Fabian helge von koch University of St http://www.britannica.com/eb/article?eu=46914

48. The Curve Of Helge Von Koch (1904) The curve of helge von koch (1904). A line is divided into three equal sections.The central one is removed, and two lines of equal length are put in its place. http://home.wxs.nl/~Philip.van.Egmond/wiskunde/koch1-e.htm

The curve of Helge von Koch (1904) A line is divided into three equal sections. The central one is removed, and two lines of equal length are put in its place. In this way the figure below is generated. In the center is now an equilateral triangle, with its lowest side removed. What would happen if you were to divide every line into three pieces, remove the central piece, and replace it with two other ones of equal length just like was done with the first line? You would see the situation below. If one did the same again: After 100 iterations I had the following picture: Now suppose that the length op the first line was 1 dm (=10cm). Then the length of the segments in the second picture would be 1/3 dm. The total length of the segments would be 4*1/3 dm=4/3dm. After the second iteration there are already 16 segments in the curve. With each iteration a segment gets 3 times as small, but 4 times as many segments are created. The total length of the 16 segments is therefore (4/3) ~ 1,78 dm.

49. Java Am GZG: Anmerkungen Zur Kochkurve Translate this page Im Jahr 1904 hat der schwedischer Mathematiker helge von koch einen kaskadenartigenProzess beschreiben, mit dem als Grenzwert eine unendlich lange Kurve http://www.gzg.fn.bw.schule.de/inform/Java/Applets03/AnmerkungenKochkurve.htm

Applets zur Kochkurve Java am GZG Ergänzungen zum Kapitel " Einfache Algorithmen " Überblick: Beschreibung Applet Applet Applet Die Kochkurve Im Jahr 1904 hat der schwedischer Mathematiker Helge von Koch einen kaskadenartigen Prozess beschreiben, mit dem als Grenzwert eine unendlich lange Kurve definiert wird, die nur einen endlichen Platz beansprucht (siehe , S.47). Diese Kurve wurde von Herrn von Koch ursprünglich als Beispiel für eine stetige Kurve eingeführt, die an keiner Stelle eine Tangente besitzt (siehe , oder , S.110). Eine Kochkurve 0-ter Stufe ist eine Gerade. Wird das mittlere Drittel der Gerade durch eine " Spitze" ersetzt (die beiden Geraden, die die Spitze bilden, ergeben zusammen mit der ersetzten Strecke ein gleichseitiges Dreieck), so erhält man eine Kochkurve 1-ter Stufe. Dieser Vorgang wird nun bei allen Teilgeraden rekursiv wiederholt. Die Kochkurve ist der Grenzwert der Folgen der Kochkurven n-ter Stufe. Ist die Kochkurve der Stufe von der Länge 1, so ist die Länge der Kochkurve n-ter Stufe von der Länge (4/3)^n. In der fraktalen Geometrie ist die Kochkurve eine Kurve der Dimension D = log(4)/log(3) = 1,2618 (siehe etwa , S.48).

50. Mathenomicon.net : Reference : Koch Curve is usually taken to be an equilateral triangle. Etymology English helge von koch Swedish mathematician (18701924). Bibliography. http://www.cenius.net/refer/display.php?ArticleID=kochcurve

51. Capítulo 1 - Objetos Fractales. Autosemejanza Translate this page Este es el caso del matemático suizo helge von koch (1870-1924) “On a ContinuousCurve without Tangents Constructible from Elementary Geometry”. http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-09.shtm

Benoît Mandelbrot Concepto de estructura fractal Autosemejanza Dimensión topológica ... la escalera del diablo , las curvas de Weierstrass Mandelbrot-Weierstrass y Takagi un ejemplo diferente , las curvas de Peano y de Hilbert , los dragones de Heighway y conjuntos autoafines , las curvas de Koch Sierpinski Kiesswetter y Given-Mandelbrot Movimiento browniano Fechas significativas Algunas aplicaciones Inspirados por el hallazgo de Weierstrass, otros matemáticos trabajaron sobre curvas continuas sin tangente en punto alguno. Este es el caso del matemático suizo Helge Von Koch (1870-1924): “ On a Continuous Curve without Tangents Constructible from Elementary Geometry Casi inmediatamente después de la publicación del trabajo de Von Koch, Ernesto Césaro demostró que la curva en cuestión es autosemejante. Es decir, puede ser obtenida reuniendo cuatro partes de la misma, cada una de las cuales es semejante a la curva completa. Estas curvas son otro ejemplo de curvas continuas y no diferenciables en ningún punto. Tienen longitud (medida de Lebesgue) infinita, pero limitan una superficie finita. Su dimensión topológica es 1.

52. 41063b Translate this page erhalten?``. 410636. Wir machen einen Ausflug in die Welt der koch-Kurvenund koch-Inseln (helge von koch, Stockholm 1904) In den http://www.mathematik-olympiaden.de/Aufgaben/41/3/41063b/41063b.html

Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.V. 41. Mathematik-Olympiade 3. Stufe (Landesrunde) Klasse 6 Aufgaben 2. Tag Hinweis: Eine Haselnuss wiegt so viel wie drei Rosinen. In der Packung sind Eine Paranuss wiegt 12 g. Die Packung wiegt 600 g. Jochen, das Geburtstagskind, stellt folgende Aufgabe: ,,Ich sage euch: Von keiner Farbe gibt es weniger als zwei Murmeln. Wir machen einen Ausflug in die Welt der Koch-Kurven und Koch-Inseln (Helge von Koch, Stockholm 1904): a) Wie lang ist die Koch-Kurve in der 1. Stufe? Und in der 2. Stufe? b) Wie lang ist die so entstehende Kurve in der 10. Stufe? c) Arbeitsgruppe Rechentechnik, 2001-12-21

53. Arlo Caine's Web Page / Mathematics / Limits With ... What is a limit? Niels Fabian helge von koch (18701924) was a swedishmathematician who first played with the figures we are discussing. http://math.arizona.edu/~caine/chaos.html

Limits with von Koch's Curve, Sierpinski's Gasket, and the Chaos Game Patterns The natural world is awash with detail. Even in the bleak lanscape of a frozen tundra, patterns can be found at all scales, whether in the gentle curve of a wind swept serac or in the intricate crystalline structure of a snowflake. It is fortunate for us that many of the observable patterns in nature form as the result of a process. A step by step series of instructions to be carried out. Some processes are more complicated than others. Ice crystal formation is a fairly simple process when compared with the fluid dynamics relevant to the creation of clouds, for example. In science one tries to develop theoretical models to predict these patterns, thereby understanding the process, and then tests these predictions against experiement. Often these predictions use mathematics, and during the development of the full model, many interesting questions arise. An example is pictured schematically at right. In the picture at right, suppose for the sake of

54. The ORESME Home PageVon Koch Section 4 The 1906 reference is helge von koch, Une méthode géométrique élémentairepour l étude de certaines questiones de la théorie des courbes planes http://www.nku.edu/~curtin/grenouille.html

Von Koch Section IV. Please Email comments or suggestions to: curtin@nku.edu You may view the four pages of the 1906 paper that do not appear in the 1904 version. Acta Mathematica (1906), 145-174. You have Vardi's translation of pp. 145-170. Page 171 Page 172 Page 173 Page 174 ... Dan Curtin's Home Page

55. ORESME NKU Sept 1998 a most comfortable facility, to read the paper On a continuous curve without tangentsconstructible from elementary geometry by helge von koch (an English http://www.nku.edu/~curtin/oresme_sep_98.html

Please Email comments or suggestions to: curtin@nku.edu or to: otero@xavier.xu.edu ORESME Home Page Dan Curtin's Home Page

56. Introduccio Translate this page A- UNA CURVA CURIOSA La curva de koch La isla de koch, fue descubiertaen el año 1904 por el matemático sueco helge von koch. http://inicia.es/de/lmora1/altra/introduccio.html

A- UNA CURVA CURIOSA: La curva de Koch La isla de Koch, fue descubierta en el año 1904 por el matemático sueco Helge Von Koch. Sabemos por los numerosos escritos que este nos ha dejado, que esta isla, inicialmente desierta, tenia forma de triangulo equilátero, tal como muestra la fig. 1. fig. 1 Años más tarde la isla fue habitada por pocos, pero laboriosos colonos holandeses, que mediante la construcción de diques consiguieron ganarle terreno al mar. . En breve tiempo consiguieron añadir tres pequeñas penínsulas triangulares. (fig. 2). fig. 2 Los lados de estas pequeñas penínsulas tenían una longitud que era la tercera parte del lado original de la isla. De esta manera, los habitantes consiguieron aumentar la superficie habitable de la isla. Con el paso del tiempo, y la repetición de este proceso se produjo un importante aumento del terreno habitable de la isla, y también es importante decirlo, una isla con un contorno muy curioso. ¿De donde podían salir todos los materiales, arena y rocas, que utilizaban los nativos para ampliar su isla? Años más tarde se descubrió la existencia de una isla muy próxima a la isla de Koch. Esta isla, llamémosla isla Anti-Koch, tenia inicialmente la misma forma que la isla de Koch. Los nativos la utilizaron para extraer los materiales necesarios para realizar las sucesivas ampliaciones de su isla. A medida que la isla de Koch ampliaba su forma, la isla Anti-Koch disminuía su tamaño en una cantidad igual. De aquí el nombre de isla de Anti-Koch. El proceso era muy sencillo, para construir una nueva península en la isla de Koch, suprimian una península de idéntico tamaño en la isla Anti-Koch.

57. Www.KaiRo.at [science Corner] - Physik - Fraktale helge von koch 1904 entdeckte,eröffnet gute Möglichkeiten zur Beschreibung der fraktalen Eigenschaften http://www.kairo.at/science/physics/fraktalenatur.php

www. KaiRo .at business WebDesign Linux Services Domain Hosting Software ... Mozilla deutsch other content Download Home of KaiRo Star Trek: INCONSTRUCTION [arts corner] ... [science corner] partner sites Mhtp: www.zoechling.net contact contact KaiRo Die fraktale Geometrie der Natur Das Wort Fraktal =1,333; im zweiten Fraktale Dimension am Beispiel der Peano-Kurve fraktale Dimension War diese Kurve jetzt ein- oder zweidimensional? Mit unserem normalen ("topologischen") Dimensionsbegriff ist das nicht mehr nachvollziehbar. Mandelbrot nahm zur Beschreibung solcher Figuren denjenigen Begriff zu Hilfe, der in der Mathematik nach seinen Erfindern als Hausdorff-Besicovitch-Dimension oder einfach als gebrochene Dimension bekannt ist, und benannte ihn auch als fraktale Dimension. s den Skalierungsfaktor (hier 1/3), N Bei der Peano-Kurve wird die Initiator-Linie ebenfalls in drei Teile geteilt ( s =1/3) und durch den Generator ersetzt, der 9 solcher kleineren Linien ( N Welche fraktale Dimension besitzt dann die Koch-Kurve? Hier wird wiederum der Initiator mit dem Faktor s =1/3 geteilt, diesmal besitzt der Generator aber vier Teilstrecken

58. ThinkQuest : Library : Making Order Out Of Chaos The image we are left with is called the koch Curve, named after thefamous mathematician helge von koch. The image has an infinate http://library.thinkquest.org/12170/theory/koch.html

Index Math Chaos Theory Making Order out of Chaos This site is well-named, since the study of chaos can bechaotic. Chaos theory is a recent development in mathematics dealing with the complexity of nature. Probably the most well-known aspects of chaos theory are fractal images. Fractals appear to be complex and hard-to-comprehend at first glance, but the underlying code is very simple. Stunning images accompany the well-organized pages. If you're confused about chaos, find some order here. Visit Site 1997 ThinkQuest Internet Challenge Languages English Students Brian Wyoming Valley West High School, Plymouth, PA, United States Andrew Wyoming Valley West High School, Plymouth, PA, United States Shane Wyoming Valley West, Plymouth, PA, United States Coaches Richard Wyoming Valley West High Schol, Plymouth, PA, United States Richard Wyoming Valley West High Schol, Plymouth, PA, United States Richard Wyoming Valley West High Schol, Plymouth, PA, United States Want to build a ThinkQuest site? The ThinkQuest site above is one of thousands of educational web sites built by students from around the world.

59. TORRAS 71 En 1904, el matemàtic suec helge von koch donà a conèixer unainteressant i molesta corva, des del punt de vista matemàtic. http://www.xtec.es/~jfernan3/torras71.htm

El Floc de neu Els fractals corva Feu arribar els vostres comentaris i suggeriments a: Actualitzat: 28 d'Octubre de 1996

60. Dict Courbe De Koch Translate this page Dictionnaire de mathématiques récréatives. koch, NF helge von (1870-1924).° Courbe de koch. – Courbe fermée tracée à partir http://www.recreomath.qc.ca/dict_koch_c.htm

Page d'accueil Banque de problèmes récréatifs Défis Détente ... Contactez-nous Dictionnaire de mathématiques récréatives Koch, N. F. Helge von Courbe de Koch. Courbe fermée tracée à partir d'un triangle isocèle dont les angles de base mesurent 30 degrés. Le contour des courbes flocon de neige et antiflocon de neige est parfois appelé courbe de Koch. Cette courbe appartient à la classe des courbes de remplissage et est dite pathologique © Charles-É. Jean, 1996-2001. Tous droits réservés. Index : J-K

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